دانلود مقاله در مورد ریاضیات مهندسی با pdf

توضیحات

  مقاله در مورد ریاضیات مهندسی با pdf دارای 57 صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد مقاله در مورد ریاضیات مهندسی با pdf  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ریختگی احتمالی در متون زیر ،دلیل ان کپی کردن این مطالب از داخل فایل ورد می باشد و در فایل اصلی مقاله در مورد ریاضیات مهندسی با pdf،به هیچ وجه بهم ریختگی وجود ندارد

بخشی از متن مقاله در مورد ریاضیات مهندسی با pdf :

ریاضیات مهندسی

فصل اول: بررسی های فوریه:
مقدمه: تفكیك یك تابع به چند جزء مختلف و یا بسط آن به یك سری گسترده از توابع دارای بورد كاربردی مختلف در ریاضی و فیزیك است، یكی از این موارد بسط توابع برحسب مجموعه ای از توابع هارمونیك مثلثاتی با فركانسها و دامنه ای مختلف است. در این فصل ضمن آشنایی قدم به قدم به اصول این روش با كاربردهای حاصل از آن نیز آشنا می شویم.

1-1- توابع متناوب: اگر شكل تابع در فواصل منظم تكرار شود آنرا تناوب گوئیم.

در مورد یك تابع متناوب می توان نوشت:
(1) f (x+T) = f(x)
در این رابطه f تابعی از متغیر x و دوره تناوب T می باشد.
براساس این تعریف ملاحظه می شود كه اگر g,f توبام هم پریود باشند، تابعی كه به صورت زیر تعریف می شود نیز با آنها هم پریود است.
(2) h = f + g
sin و cos از جمله توابع متناوبند.
Sin x 2

Cos x
مثال: دوره تناوب Sin x + 3 Cos x چقدر است؟
Sin x 2
Cos x
بنابراین دوره تناوب تابع مذكور 2 می باشد.

به این ترتیب دوره تناوب مجموعه ای توابع به صورت زیر برابر 2 خواهد بود.
(3)f(x)=a.+a1cosx+a2cos2x+…+anco مقاله در مورد ریاضیات مهندسی با pdf+b.+b1si مقاله در مورد ریاضیات مهندسی با pdf+b2Sin2x+…+bnSi مقاله در مورد ریاضیات مهندسی با pdf
در بخشهای بعد دیده می شود كه می توان برای تابعی با دوره تناوب 2 ضمن محاسبه ظرائب a1 تا a2 یك سری مثلثاتی مثل رابطه (3) پیدا كرد.
مثال: كوچكترین دوره تناوب توابع زیر را بدست آورید:
الف) si مقاله در مورد ریاضیات مهندسی با pdf ب) sin2x ج) sin2x د)
T=2 T= T=1 T=T
هـ) sin2 مقاله در مورد ریاضیات مهندسی با pdf و) ز)
T=1/x T=T/n T=4
ح) ط) 3sin4x+cos4x
T=12 T=/4
1-2- توابع متاعد:
دو تابع f و g را در فاصله (a,b) عمود بر هم گوئیم هرگاه داشته باشیم:

كه به اختصار آنرا به صورت (f.g)=0 نمایش می دهیم. براین اساس:
(Cosmx, Sin مقاله در مورد ریاضیات مهندسی با pdf)=0
(Sin mx, Sin مقاله در مورد ریاضیات مهندسی با pdf)=0
(Cos mx, Sin mx)=0
در فاصله (0,2) تمام این توابع بر هم عمود هستند.

توابع تناوب را اعم از اینكه دارای دوره تناوب 2 باشد یا نباشد می توان برحسب توابع هامونیك cos, sin نوشت. بسط حاصل از تفكیك یك تابع به اجزاء هارمونیكی یك سری فوریه می گوئیم. اكنون به معرفی سری فوریه می گوئیم.
1-3-1- بسط توابع دوره تناوب 2

تابعی را با دوره تناوب 2 در نظر بگیرید. این تابع را با سری مثلثاتی رابطه (3) می توان جایگزین كرد یعنی می توان نوشت:

برای اثبات این ادعا لازم است ضرائب a0، an و bn را محاسبه كنیم. محاسبه این ضرائب با توجه به خاصیت متعاصر تابع های هارمونیكی قابل انجام است.
مثلا برای محاسبه an طرفین رابطه (8) را در cosx ضرب نموده و سپس انتگرال گیری نمائیم.

+

1-3-1- بسط تابع با دوره تناوب 2v

ضرائب a0، an و bn =؟
برای محاسبه a0 از طرفین T- تا T انتگرال می گوییم

برای تعیین ضرائب جملات كسینوسی طرفین را در Cosmx ضرب می كنیم و از –T تا T
انتگرال می گیریم.

تمامی جملات به جز جمله در حالتی كه n,m باشد برابر صفرند و در حالت n,m مستقر برابر 2n است

برای تعیین جملات سینوسی، طرفین در Si مقاله در مورد ریاضیات مهندسی با pdf ضرب

تمامی جملات بجز آنهم زمانی كه m، n است برابر صفرند و در حالت m، n این جمله برابر

: ضرائب فوریه

مثال: سری فوریه را برای تابع زیر بیابید:
-<x<0 -k
F(x)=
0<x< k
a0=0

n فرد باشد 2
1-cos=
n زوج باشد 0
B4=0 63=4k/3 b2=0 61=4k/
F(x)=4k/(si مقاله در مورد ریاضیات مهندسی با pdf+1/3si مقاله در مورد ریاضیات مهندسی با pdf+1/5sin5x+…)
1-3-2- بسط توابع با دوره تناوب دلخواه:
تابعی مانند fT(t) را كه در یك تناوب در فاصله (4/ و 4/-) واقع شده را در نظر بگیرید. با تغییر متغیر T/2t= x تابعی به صورت f(x) بدست می آید كه دارای دوره تناوب 2 است.
4/T =t متناظر است با = x
برای تابع f(x) با دوره تناوب 2 سری فوریه بدست آورده شد. اگر به جای x در این رابطه متناظرش را قرار دهیم:

مثال: برای موج سینوسی با فركانس w كه در قسمت منفی آن حذف شده است، بسط فوریه را بدست آورید:

-/w<t<0 0

F(t)=
0<t</w E0sinwt

n=1 E0/2
bn= به همین ترتیب
n1 0

مثال: مطلوبست محاسبه بسط فوریه كه در فاصله (-2,2) به صورت زیر تعریف شده است:
f(t)= 4-t2 -2<t<2
T= 4

=

4 را ازاین رابطه محاسبه كنید:
تمرین: برای توابع زیر كه دارای دوره تناوب 2 هستند و در فاصله (1 و 1-) تعریف شده اند سری فوریه را بیابید:
f(x)= Sgn (x)(الف
f(x)= U (x)(ب
f(x)= x(ج
f(x) = x (و
f(x)= x2(هـ
f(x)= Si مقاله در مورد ریاضیات مهندسی با pdf(و
قضیه: سری فوریه یك تابع متناوب یكی است. بنابراین از هر روشی كه به سری فوریه یك تابع برسیم، در تابع یك سری فوریه منحصر به فرد برای یك تابع متناوب خواهیم داشت.
1-4- توابع زوج و فرد و یك سری فوریه
f(-x) = f(x) : تابع زوج
f (-x)= – f(x): تابع فرد
سایر توابع نه زوج و نه فرد هستند. مانند ex یا 1+x
اگر O(x) یك تابع فرد و E(x) یك تابع زوج و f(x) نه زوج و نه فرد باشد آنگاه:
o1+o2=o3

E1+E2=E3
O+E=f
O1-O2=E
O1.E=O2
E1.E2=E3
این خصوصیات هیچ شباهتی به خاصیت اعداد زوج و فرد ندارد.
براساس تعریف تابع های زوج و فرد توابع Si مقاله در مورد ریاضیات مهندسی با pdf و Cosx به ترتیب فرد و زوج محسوب می شوند.
اگر f(t) تابعی زوج باشد T/ f(t) cos 2nt یك تابع زوج است.
بنابراین ضرائب an به این صورت محاسبه می شوند:

f(t). Sin 2nt/T یك تابع زوج * یك تابع فرد فرد bn برابر صفر است

به همین صورت اگر f(t) فرد باشد
قضیه: ضرائب فوریه مجموعه 2f + 1f برابر با مجموعهای ضرائب متناظر 1f و 2f هستند و ضرائب فوریه cf برابر C ضرب در ضرائب فوریه متناظر f هستند.
مثال: بسط فوریه تابع متناوب f(x)= +x كه در یك دوره تناوب در فاصله (-,) است را بدست آورید.
T= 2
تابع f(x) را می توان به صورت مجموع دو تابع f1(x)= و f2(x)=x نوشت. چون عدد ثابتی است پس بسط فوریه f1(x) همان می شود. اكنون بسط فوریه تابع f2(x) را كه یك تابع فرد است بدست می اوریم:

تمرین: سری فوریه توابع زیر را بدست آورید:
f(x)= 1+Sgn (x)
T=2 -1<x<1
1-5- شكلهای مختلف نمایش سری فوریه:
سری فوریه را می توان به كمك توابع نمایی نمایش داد.

از مقایسه این دو رابطه می توان فهمید كه f0 همان a0 است.
روابط محاسبه ضرائب بسط را می توان به طور مشابه با جایگزینی عبارات نمایی به جای روابط مثلثاتی بدست آورد.

در نهایت می توان با تغییر متغیر =2t/T رابطه فوق را برای تابعی با دوره تناوب دلخواه T تعمیم داد.

مثال: سری فوریه مختلط f(x)=ex را اگر <x< و T=2 باشد تعیین نمائید.
:داریم

سری های مثلثاتی می توان به صورت مجموع عبارتهای مثلثاتی

با دامنه و فاز مجزا نمایش داد.

جمله x ام یك سری فوریه مثلثاتی AnConw0t+BnSin nw0+
اگر این جمله را طبق قاعده فوق مرتب نمائیم:

An و Bn همچنان از روابط مربوط به خودشان پیدا می شوند
1-6- بسط نیم دور:
به روشهای مختلف می توان تابعی را كه در فاصله محدودی تعریف شده است را به صورت متناوب گسترش داد به عنوان مثال تابع شكل زیر را می توان به صورت بیه تابع اصلی است و ثانیا هر دو متناوب هستند.
برای استفاده از مزایایی سری فوریه حتی توابع غیر متناوب را در محدوده معین به صورت یك تابع پریودیسك در نظر گرفته و آن را به با یك سری جایگزین می نمائیم
از میان شكلهای دوره ای مختلف كه می توان برای تناوبی كردن یك نتایج در نظر گرفت، دو صورت زوج و فرد به دلیل سادگی بیشتر مورد توجه است.
سری فوریه ناشی از این اشكال را بسط نیم دور سینوسی یا كسینوسی می نامند. براساس نتایج بخش قبل در مورد توابع زوج و فرد، ملاحظه می شود كه برای تابعی كه در فاصله (0,f) تعریف شده، سری فوریه مثلثاتی زوج به صورت زیر است:

T=2L
كه ضرائب an,a0 از روابط زیر پیدا می شوند.

و به طور مشابه برای بسط نیم دور سینوسی داریم:

مثال: در x=1/2 ترتیب تابع f(x)=x را از طریق بسط نیم دور سینوسی و كسینوسی بدست آورید:
الف) برای بسط زوج داریم:

بنابراین: f(x)= ½- 4/2 (Cox+1/32cos3x+1/525x+0x)
f(1/4)= 1/4
برای بسط فرد داریم:

انتگرال فوریه:
در بخش های قبل ملاحظه شد كه یك نوسان پریودیك را می توان به مجموع نوسانهای هارمونیك با فركانس 2x/T یا nw تفكیك نمود و برای هر مقدار n دامنه های an و bn را توسط روابط اوید محاسبه كرد.
از آنجا كه بسیاری از مسائل عملی شامل توابع نا دوره ای هستند، این پرسپ پیش می آید كه چه كاری می توان كرد تا روش سری های فوریه به این گونه توابع تعمیم یابد؟
اكنون تابع f(x) با دوره تناوب 2f را در نظر بگیرید. بررسی می كنیم كه اگر L بدست سیل كند برای سری فوریه چه پیش می آید.
به عنوان مثال فرض كنید تابع fL(x) با دوره تناوب 2L>2 به صورت زیر مشخص شود.

چون تابع fL(x) یك تابع زوج است. پس به ازای هر n داریم bn=0 و برایan ها از فرمول اویر داریم:

این دنباله ضرائب فوریه را طیف دامنه fL می نامند. زیرا:
an max (anCosnaL)

همان طور كه ملاحظه می شود با افزایش L دامنه ها روی محور wn به سمت محور قائم منقبض می شوند. درصو وقتی wn به سمت صفر می رود، این طیف پیوسته به منحنی پیوسته ای مبدل خواهد شد an(wn) به A(w) و سری فوریه به انتگرال فوریه تبدیل می شود. اكنون به استخراج انتگرال فوریه می پردازیم:
تابع fL(x) با دوره تناوب 2L را در نظر بگیرید كه سری فوریه آن به شكل زیر است.

خواهیم دید كه اگر f آنگاه با یك انتگرال فوریه به جای سری فوریه خواهیم داشت كه شامل coswn و sinwn باشد و w در آن دیگر محدود به نصارب /L نباشد، بلكه تمام مقدار را اختیار می كند.
اگر در بسط فوریه تابع fL(x) مقادیر an و bn را از فرمولهای اویر جایگزین نمائیم:

این رابطه به ازای هر مقدار شخص L هر قدر بزرگ ولی متناهی برقرار است. حال اگر L بدست میل كند در این صورت: 0 L/1 و مقدار جمله اول برابر صفر خواهد شد و نیز w=/L نیز به سمت صفر خواهد كرد و بنابراین سری نامتناهی فوق به صورت انتگرالی از صفر تا در می آید كه f(n) را نمایش می دهد.

جایگزین می كنیم:

و بنابراین خواهیم داشت:

این نمایش f(n) به صورت انتگرال فوریه
همان طور كه در مورد سری فوریه بیان شد، انتگرال فوریه نیز برای توابع زوج و فرد ساده تر می شود. در واقع اگر f(x) تابعی زوج باشد آنگاه
B(w)=0

و اگر f(x) تابعی فرد باشد:
A(w)=0

اگر از سری فوریه نمایی استفاده كنیم می توان نوشت:

حال اگر T به سمت بی نهایت میل كند T:
تبدیل معكوس فوریه
تبدیل فوریه

رابطه كه تبدیل فوریه را بیان می كند شبیه تبدیل لاپلاس و در واقع حالت ویژه آن است.
مفهوم فركانس منفی در كلیه روابط فوق به اندازه مفهوم زبان منفی غیر واقعی و مجازی است.و نیز شرط وجود انتگرالهای تبدیلات با توجه به اینكه در تمام انتگرالها اندازه بخش هارمونیك حداكثر یك است، آن است كه داشته باشیم:

مثال: برای تابع غیر پریودیك داده شده انتگرال فوریه cos را محاسبه كنید:

و بنابراین

برخی از كاربردهای سری فوریه:
یك سیستم ساده مكانیكی شامل تر متصل به جرمی را در نظر بگیرید. هرگاه نیروی f(t) به این سیستم اعمال شود، معدلات حركت آن را در وضعیتی كه به اندازه x جا به جا می شود و دارای كتاب x می باشد به صورت زیر می توان نوشت:

هرگاه f(t) یك تحریك هارمونیك باشد، پاسخ دائمی x این معادله هارمونیك ارتعاش هارمونیك است زیرا اگر داشته باشیم
f(t)=f0Sinwt
با جایگزین كردن حدس جواب به صورت x=Xsinwt با توجه به اینكه در این حالت xn=-xwzSinwt با جایگزاری در معادله Sinwt از طرفین و رابطه دامنه با سایر پارامترها مطابق زیر بدست می آید.
KXSinwt-mwzSinwt=f0Sinwt
X=F0/k-mwz

و بنابراین پاسخ مستقیم به صورت
x(t)=F0/k-mwz Sinwt
به دلیل خطی بودن این معادله، پاسخ سیستم به چند تحریك مختلف، حاصل جمع پاسخ آن به هریك از تحریك ها می باشد
مثلا اگر سیستم توسط دو نیرو با فركانس های 1w و 4w تحریك شود، پاسخ آن به صورت زیر می باشد:

بدین ترتیب پاسخ دائمی یك سیستم به تحریك متناوب كه با توجه به سری فوریه به صورت مجموعی از توابع هارمونیك قابل توصیف است عبارت است از:

كه در این رابطه k سختی فنر، m جرم و w0 فركانس مبنا w0=2/T می باشد.
مثال: پاسخ سیستم جرم و فنر به نیروی شخص شده را بیابید:

ابتدا ضابطه موج تحریك متناوب داده شده را بر حسب سری فوریه را بدست می آوریم:

بنابراین خواهیم داشت:

اكنون با توجه به مقادیر سختی فنر و جرم جسم و با توجه به ضرائبa0 و an پاسخ سیستم را به دست می آوریم

مثال: در سیستم مثال قبل اگر تحریك داده شده و مدت یك ثانیه خاتمه باید و غیر تناوبی می باشد پاسخ سیستم را بیابید:

با توجه به معادله حركت سیستم و مقادیر m و k خواهیم داشت:

با توجه به ضابطه f(t) ، جزء نیرو را می توان به این صورت نوشت:

اگر Sx پاسخ سیستم به این جزء نیرو باشد:

با حل این معادله دیفرانسیل خواهیم داشت:

تمرین: 1- پاسخ واقعی سیستم جرم و فنر داده شده به تحریك شكل زیر را بیایید:

2- پاسخ دائمی سیستم جرم و فنر داده شده به تحریك غیر تناوب شكل زیر را بیابید:

معاملات دیفرانسیل با مشتق جزئی:
معاملات دیفرانسیل با مشتق جزئی موسوم به PDE می باشند در شرایطی كه كمیتی تابع بیش از یك متغیر باشد پدید می آید.
در ابتدا چند مفهوم اساسی:
الف) اگر كمیتی به بیش از یك متغیر وابسته باشد آنگاه مشتق آن را نسبت به یكی از متغیرها را مشتق جزئی می گوئیم:
برابر تابع u=fx,y مشتق جزئی نیست به x به صورت زیر است:

ب) اپراتوری كه با علامت نمایش داده می شود

به صورت زیر تعریف می شود:

و بر این اساس گرادیان f نامیده می شود.
ج) لاپراسین f كه به صورت z نمایش داده می شود:

و) اگر متغیر وابسته و مشتقات آن به صورت ساده (بدون تون) در معادله دیفرانسیل ظاهر شوند معادله دیفرانسیل را خطی گوئیم.
هـ) یك معادله دیفرانسیل همگن است اگر در جملات آن فقط متغیر وابسته و مشتقات آن ظاهر شده باشند
غیر خطی uxn + 2uxut + utut 0
غیر همگن uxx + ut + 1 0
و) پاسخ یك معادله دیفرانسیل: حل یك معادله دیفرانسیل جزئی در یك ناحیه R از فضای متغیرهای مستقل تابعی است كه در معادله دیفرانسیل صدق می كند.
ز) حل كامل یك معادله دیفرانسیل: تركیبی از پاسخهای آن معادله است كه علاوه بر صدق كردن در معادله با شرایط اولیه و فردی مسئله تطبیق كند.
برخی از معادلات دیفرانسیل مهم:
1) utt=Czuxx معادله موج یك بعدی
2) ut-czuxx معادله انتقال حرارت یك بعدی
3) zu=0 معادله لاپلاس
4) zu=f(x,y) معادله پوامسون
معادله (4) ناهمگن و بقیه همگن هستند
ارتعاش آزاد تار:
هدف: بدست آوردن ماعلده حاكم بر ارتعاش های عرضی كوچك یك تار كشان نظر یك تار ویولن
تار را در راستای محور x تا طول L را می كشیم و در نقاط x=0 و x=L ثابت می كنیم.
آنگاه تار را در حالت تعادل خارج كرده و در لحظه t=0 رها می كنیم. هدف تعین ارتعاش تار یعنی تعیین انحراف y(x,t) در هر نقطه x و در هر زمان t

عامل برگرداننده تار به كدام پدیده بیشتر بستگی دارد؟
الف) نیروی كشش اولیه سیم
ب) نیرویی كه در اثر افزایش طول تار پدید آمده
معمولا نیروی كشش به اندازه ای زیاد است كه می توان از نیروی حاصل از افزایش طول تار صرف نظر كرد.

فرضیات:
1- جرم واحد طول ثابت است و در مقابل خمش مقاومتی ندارد
2- تار حركات عرضی كوچكی در صفحه قائم دارد یعنی هر ذره از تار در جهت قائم حركت می كنند.
بنابراین قدر مطلق انحراف و شبیه تار در هر نقطه همواره ثابت است.

مطابق شكل نیروهای وارد بر قسمت كوچك تار x را در نظر بگیریم.
نكته: چون تار در مقابل خمش مقاومتی ندارد، نیروی كشش در هر نقطه مماس برخم تار است 1T و 4T نیروهای كشش موثر بر نقاط انتهایی سمت مورد نظر یعنی P و Q هستند نقاط تار در جهت قائم حركت می كنند و در جهت افقی حركت ندارند. بنابراین مولفه های افقی نیروی كشش ثابت است
‍cte= T= Cos 4T= Cos1T

در امتداد قائم دو نیرو داریم:
Sin1T- و Sin B4T
= جرم واحد طول تار

x= x = جرم تست مورد نظر.
براساس قانون دوم نیوتون شتاب قسمت مورد نظر=

داریم

tan و tan شیب ها تار در x و x+x هستند:

حال اگر در () جایگزین كنیم:

اگر x به سمت صفر برود:

T/M دارای دیمانسیون مجذور سرعت ((LT-1)2) است.
یعنی تاری كه در دو انتها بسته شده است:
y(0,t) , y(L,t)=0
اگر تار در ابتدا (t=0) با ضابطه f(x) و سرعت آن با ضابطه g(x) معرفی شود:
y(x,0) = f(x)
y(x,0)=g(x)
روش حل دالابر برای معادله موج:
معادله موج
(x+ct) یك جواب معادله است زیرا:
F=x+ct

به همان ترتیب (x-ct) نیز جواب معادله است. با توجه به خطی بودن معادله دیفرانسیل تركیب این جوابها نیز جواب معادله خواهد بود.
u(x,t)= (x+ct)+ (x-ct)= (z) + (v)
اعمال شرایط مرزی:
در صورتی كه تار در ابتدا دارای شكلی به ضابطه u(x,0)=f(x) و دارای سرعت صفر باشد توابع و را بدست می آوریم.
u(x,0) = (x,0) + (x,0) = f(x)
ut=(x,0)=c (x,0) –c (x,0)= g(x)=0
حاصل انتگرال گری از معادله دوم عدد ثابتی خواهد شد، آنرا S می نامیم.
F(x)=u(m)+ (x)

(x) – (x)= s/c
از این دستگاه:
(x)= ½[f(x) + s/c]
= ¼ [f(x)- s/c]
براساس این جایگذاری خواهیم داشت:
u(x,t)= ¼ [f(x+ct)+ f(x-ct)]
تعبیر و ارزش پارامتر cz در معادله موج:
اگر f(x) شكل اولیه تار را نشان دهد مفهوم (x-ct) آنست كه موج با این شكل و سرعت c به سمت راست جا به جا می شود و شكل تار را تغییر دهد:

به این ترتیب توابع (x+ct)و (x-ct) شكل موجهایی را كه به طرف چپ و راست در حال حركت اند را نشان می دهد و c در واقع سرعت انتشار این امواج است.
مثال: برای تاری به طول بی نهایت كه از موقعیت اولیه = xz +1/ 1 رها شده است هرگاه سرعت انتشار موج به طول تار V باشد، شكل تار را در هر لحظه t بیابید:
u(x,t)=1/2[f(x+vt)+f(x-vt)]

تمرین: به یك تار یكنواخت كه بین - تا + كشیده شده است تغییر شكل اولیه زیر اعمال شده است

سپس تار رها شده است. مطلوب است معادله حركت تار و سرعت عرضی تار در مبدا.
روش تفكیك متغیرها در حل معادله موج:

با توجه به اینكه دیمانسیون سرعت و سرعت انتشار موج است با v نمایش می دهیم
برای حل این معادله فرض می كنیم كه داشته باشیم:
y(x,t)=X(x). T(t)
این فرض را در معادله جایگزین می كنیم:
هرگاه پس از جایگذاری معادله دیفرانسیل را بتوان به دو معادله مجزا تفكیك

كرد، این فرض معتبر است. مثلا برای تجزیه معادل موج می توان نوشت:

اگر این معادلات را در معادله موج قرار دهیم،

به عبارت دیگر:

كه این تساوی ممكن نخواهد شد مگر آنكه نسبت های فوق برابر مقدار ثابتی نشود كه آن را با (nz-) نمایش می دهیم.
بنابراین

اگر شرایط مرزی را با این مدل تطبیق دهیم:
y(0,t)= x(0).T(t)=0

y(L,t)= x(L) T(t)=0
در این صورت x(0)=0 و x (L)= 0 زیرا اگر T(t) صفر باشد كل حركت صفر می شود.

برای دریافت اینجا کلیک کنید