مقاله جین باتپیست جوزف فوریه تحت فایل ورد (word)

توضیحات

 مقاله جین باتپیست جوزف فوریه تحت فایل ورد (word) دارای 159 صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد مقاله جین باتپیست جوزف فوریه تحت فایل ورد (word)  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ریختگی احتمالی در متون زیر ،دلیل ان کپی کردن این مطالب از داخل فایل ورد می باشد و در فایل اصلی مقاله جین باتپیست جوزف فوریه تحت فایل ورد (word)،به هیچ وجه بهم ریختگی وجود ندارد

بخشی از متن مقاله جین باتپیست جوزف فوریه تحت فایل ورد (word) :

جین باتپیست جوزف فوریه

متولد : 21 مارس 1768 در اكسر ،‌پورگن فرانسه
وفات : 16 می 1830 در پاریس فرانسه
پدر جوزف فوریه، در اكسر خیاط بود. پس از درگذشت زن اول ، او سه فرزند داشت. او دوباره ازدواج كرد. جوزف نهمین فرزند از دوازده فرزندش در ازدواج دوم بود. وقتی جوزف سه سال داشت،‌مادرش در گذشت و پدر خود را نیز سال بعد از دست داد.

اولین مدسه او در مدرسه پالایز بود – در این هنگام او با رهبر موزیک کلیسای جامع همراه شده بود. در آنجا جوزف لاتین و فرانسه را یاد گرفت و با خود عهد بزرگی بست. در سال 1780 به «اِكُلْ رویال میلیاتر اكسر» رهسپار شد. مكانی كه برای اولین بار استعدادش را در آثار ادبی نشان داد. اما خیلی زود در سن سیزده سالگی، ریاضی علاقه واقعی او شد. در سن چهارده‌سالگی او تحصیلات خود را تا كلاس ششم در رشته ریاضیات كامل كرد.در سال 1783 او جایزه اول مدرسه «باسوت» در رشته خودش، یعنی مكانیك عمومی دریافت كرد. در سال 1787 جوزف تصمیم گرفت تا به دنبال روحانیت برود و به همین منظور به عنوان راهب وارد صومعه نبت كتین شد.

علاقه او به ریاضیات ادامه داشت به هر حال او با ال- سی پونارد استاد ریاضی در اكسر مكاتبه می كرد. اما فوریه مطمئن نبود كه تصمیم درستی در مورد روحانیت گرفته است یا خیر.
او یك نامه در حیره به مونتا كلا پاریس تسلیم كرد. او در نامه خود به بونارد پیشنهاد كرد كه قصد دارد برخورد جدی با ریاضی بكند. او در این نامه نوشت :

دیروز تولد 21 سالگی من بود و در آن سن نیوتن و پاسكال دستاوردهای فناناپذیری را بدست آوردند. فوریه ، صومعه را درسال 1789 ترك كرد از پاریس دیدن كرد و نامه‌ای از آكادمی عالی علمی در معادلات جبری می خواند. در سال 1790 او معلم « بندیكتاین كالج» در اكل رویال میلیاتر اكسر همان جایی كه درس خوانده بود شد و تا آن زمان یك كشمكش درونی در فوریه در این مورد وجود داشت كه آیا او باید یك فرد مذهبی باشد یا یك محقق ریاضی به هر جهت در سال 1793 سومین عنصر(عامل) به كشمكش‌های او اضافه شد . زمانی كه او وارد سیاست شد و به كمیته انقلابی علمی پیوست.

او نوشت :
بر طبق قانون پیشرفته تساوی در طبیعت ممكن است كه تصویر كنیم این عمل مافوق انسانی باشد كه یك دولت معاف از كشیش و شاه باشد و خاك اروپا از بند یوغی دوبله كه زمانی بسیار طولانی است و آن را در بر گرفته است، آزاد شود . من زمانیكه می خوانم ،‌ شیفته این عمل هستم. در نظر من بزرگترین و زیباترین ملت ها چنین ملتی است حتی اگر زیر بار فشارها باشد.
فوریه از تروری که نتیجه انقلاب فرانسه شد، ناراحت شد و تلاش كرد تا از كمیته استعفا دهد به هر جهت این امر غیر ممكن بود و فوریه الان كاملاً با انقلاب گرفتار شده است و نمی تواند از ان رهایی یابد.

انقلاب یك كار كاملاً پیچیده‌ای از خیلی جها ت است با اهدافی كاملاً مشابه و عملكردی شدید متقابل با هم . فوریه از اعضا حمایت كرد به نظر می رسد فوریه از سكوی ویژه‌ای از درون مردم برخواسته است و به خوبی می تواند صحبت كند و اگر او بماند خواهد دید كه جامعه اكسر بدون هیچ نگرانی خواهد بود. این رویداد نتایج جدی داشت اما بعد از آن فوریه به اكسر برگشت و به كار در كمیته انقلابی و تدریس در دانشگاه ادامه داد . در جولای 1794 او دستگیر شد و به خاطر واقعه اولئان به زندان افتاد . اما پس از چندی – تغییر سیاست منجر به آزادی او شد.

در سال 1794 جوزف برای مطالعه در ایكول نرمالی در پاریس كاندید شد. این مؤسسه برای تربیت معلمان وضع شد و قصد داشت یك روش دیگری برای تربیت معلمان در مدرسه بكار برد . این مدرسه در جولای 1795 باز شد و فوریه مطمئناً شاگرد توانایی بود. او از لاگرانژ چیزهای زیادی آموخته بود، لاگرانژ در آن زمان فوریه را اینطور توصیف می کرد :‌ اولین دانشمند مرد اروپا و همچنین لاپلاس كسی كه برای فوریه بهای زیادی گذاشت و همین طور منگ كه فوریه در باره او می گوید : دانشمندی متكبر با صدای بلند و فعال است.
فوریه در كالج فرانسه شروع به درس دادن كرد و رابطه‌اش با لاپلاس و منگ در تحقیقات ریاضی‌ شروع شد.

منگ اسم مدرسه را به ایكل پلی تكنیك تغییر داد . در اول سپتامبر 1795 فوریه در ایكل پلی تكنیك در حال درس دادن بود. در سال 1797 موفق شد لاگرانژ را به استادی آنالیز و مكانیك منصوب كند او به یك استاد برجسته و مشهور تبدیل شده بود.

در سال 1798 فوریه به ارتش ناپلئون در هجوم به مصر مثل یك دانشمند آگاهی دهنده پیوست منگ و ملوس نیز قسمتی از این نیروی هیدئت اعزامی بودند. این هیئت اعزامی یك موفقیت بزرگ بود. فوریه یك انجمن پلی تكنیك در فرانسه به كار انداخت و او امیدوار بود كه یك آموزش و پروش روانی در مصر تأسیس كند و یك اكتشاف باستان شناسی انجام دهد.
فوریه یك انجمن مخفی انتخاب كرد این انجمن برای او یک موقعیت بود و تا وقتی مصر در تصرف تمام فرانسه است، با این انجمن است .
ناپلئون ارتش را ترك كرد و به پاریس برگشت .

در سال 1801 فوریه با نیروی اعزامی مانده در مصر به فرانسه برگشت.
در این زمان فوریه پستش را به عنوان پروفسور آنالیز در ایكل پلی تكنیك از سر گرفت .

اما ناراحت بود از اینكه فرهنگستان جهان و پاریس را ترك كند در حالی که نمی توانست در خواست ناپلئون را رد كند و به جرمونل رفت ،جایی كه كارش از فرمانده هم بیشتر بود.
دو موفقیت بزرگ او یکی در وضعیت اداری – سرپرستی كردن اداره آبگذر در باتلاق بركوئین بود و دیگری رسیدگی به کار ساختمانی در بزرگراه جدیدی بود از جرنونل تا تدوین.
او وقت زیادی صرف كشور مصر كرد.

طی این مدت فوریه روی ریاضیات مهمش كار می كرد. قضیه گرما كه كار روی این موضوع را اطراف سال‌های 1804 تا 1807 شروع كرد.او قضیه مهمش را روی تكثیر گرما در اجسام جامد كامل كرد.

اما کمیته از این بایت احساس، ناراحتی می کردند و دو اعتراض به کار او داشتند :
اعتراض اول :
– بسط تابع فوریه از سری مثلثات توسط لاگرانژ و لاپلاس كه امروزه سری فوریه، نامیده می شود البته فوریه به روشنی و به وضوح آنها را متقاعد كرد كه شكست خورده‌اند.
همه نوشته ها به روشنی با مثال وجود داشتند.

دومین موضوع « استفاده كردن معادله انتقال دادن گرما :
فوریه به كاغذ بیوت 1804 به عنوان مرجع درست دست رسی نداشت اما كاغذ بیوست حتماً غلط است لاپلاس و پواسون شبیه این موضوع را داشتند.
انجمن در سال 1811 جایزه مسابقه‌ای را كه موضوع آن تكثیر گرما در اجسام جامد بود را برای فوریه فرستاد به عنوان جایزه ریاضیات
فوریه در سال 1807 نظریه‌اش را به همه ارائه داد البته او روی خنك كردن جسم جامد محدود از جنس خاك و گرمای شعاعی نیز بسیار کار کرد.

فصل اول
مقدمات
1-1 تعریف :
توابع قطعه‌ای پیوسته
فرض كنیم تابع در همه نقاط بازه باز و محدود جز احتمالاً مجموعه‌ای متناهی از نقاط پیوسته باشد كه در آن :
اگر قرار دهیم و آنگاه تابع در هر یك از زیربازه‌های باز

پیوسته است . در نقاط انتهایی لزوماً پیوسته نیست یا حتی تعریف نشده است. اما اگردر هریك از زیر بازه‌ها وقتی x از داخل به نقاط انتهایی میل كند. دارای حد متناهی باشد ،‌گوئیم در بازه به صورت قطعه‌ای پیوسته است. دقیق تر این است حدود یکطرفه :

وجود داشته باشند.
اگر در نقاط انتهایی یك جزء بازه ، حد f را وقتی از داخل آن جزء به انتهای آن میل می كند نسبت دهیم ،‌آنگاه f در زیر بازه بسته پیوسته است. چون هر تابع كه در بازه بسته و محدودی پیوسته باشد محدود است. پس می توان گفت f در تمام بازه محدود است یعنی عدد مثبتی مانند M هست كه برای همه نقاط ) ( كه در آن f تعریف شده است. داریم
مثال : تابع در بازه پیوسته است . اما قطعه‌ پیوسته نیست زیرا موجود نیست.

اگر تابعی در بازه بسته پیوسته باشد. آنگاه در بازه باز قطعه‌ای پیوسته است
اما مثال فوق نیز نشان داده است كه پیوستگی در بازه باز مستلزم پیوستگی قطعه به
قطعه در آن نیست.
اگر تابع f در بازه قطعه به قطعه پیوسته باشد، همیشه انتگرال از تا وجود دارد. انتگرال آن برابر است با مجموع انتگرال‌های بر جزء بازه‌های بازی كه f در آن ها پیوسته است.

اولین انتگرال در سمت راست موجود است چون انتگرال تابعی پیوسته در تعریف شده است كه اگر مقدار انتگرال است و در نقاط و مقادیر آن به ترتیب و است . باقی انتگرال‌ها در سمت راست نیز به همین نحو تعریف شده و موجود هستند.
مثال : فرض كنید و نمودار آن به شكل زیر می باشد.

در این صورت خواهیم داشت :

همان طور كه مشاهده می شود مقادیر f در نقاط انتهایی تأثیری در مقدار انتگرال بر هر یك از جزء بازه‌ها ندارند . د واقع تابع در تعریف نشده است.
اگر دو تابع و هر یك در بازه قطعه‌ای پیوسته باشند ، آنگاه قسمتی از بازه موجود هست بطوریكه كه در هر زیر بازه بسته، چنانچه مقدار هریك از توابع را در هر نقطه انتهایی زیر بازه، ‌مقدار حدی آن تابع از داخل زیربازه تعریف كنیم ، هر دو تابع در ان زیر بازه

بسته، پیوسته خواهند بود. پس هر تركیب خطی مانند یا حاصلضرب در هر زیر بازه دارای آن پیوستگی است. و دربازه قطعه به قطعه پیوسته است. پس انتگرال های تابع های و و همگی در ان بازه موجودند.
چون هر تركیب خطی از توابع قطعه به قطعه پیوسته ، دارای آن خاصیت است می توان دسته همه توابع قطعه‌ای پیوسته كه در بازه‌ای مانند تعریف شده‌اند. یك فضای تابعی بنامیم و با نمایش می دهیم.
فضاهای تابعی دیگری در نظریه سری‌های فوریه مطرح می شوند. در بررسی سری فوریه از مقدماتی ترین مفاهیم آنالیز ریاضی استفاده می كنیم جز وقتی كه خلاف آن گفته شود. وقتی می گویند تابع در بازه‌ای قطعه به قطعه پیوسته است، باید دانست كه بازه محدود است و مفهوم قطعه به قطعه پیوسته بودن بدون توجه به اینكه بازه باز یا بسته است به كار می‌رود.
2-1 حاصلضرب های داخلی ومجموعه های متعامد :
فرض كنیم f و g نمایش دو تابع باشند كه روی بازه بسته و محدود پیوسته است. این بازه را به N زیر بازه با طولهای مساوی تقسیم كرده و فرض می‌كنیم. نقطه دلخواهی در زیر بازه k ام باشد.
در این صورت می توان گفت وقتی N بزرگ است.

تفاوت در این جا نمایش تساوی تقریبی است یعنی

(1)
كه در ان :
,
پس سمت چپ عبارت (1) تقریباً مساوی است با حاصلضرب داخلی دو بردار در فضای N بعدی، وقتی N بزرگ می باشد، در واقع وقتی N به سمت میل می كند آن تقریب در حد، دقیق می شود پس با توجه یه این مطالب یك حاصلضرب داخلی از توابع f و g را به صورت ذیل تعریف می كنیم :
(2)
اگر توابع f و g بر بازه قطعه‌ای پیوسته باشند ، این حاصلضرب داخلی خوش تعریف است بازه را كه توابع و حاصلضرب های داخلی آنها روی آن تعریف شده‌اند، بازه اصلی می نامند.
بنابراین با استفاده از رابطه (2) یك حاصلضرب داخلی از هر دو تابع f و g در فضای تابعی می توان تعریف كرد. فضای تابعی با ضرب داخلی (2) مشابه فضای سه بعدی معمولی است.
برای هر تابع f و g و h در روابط زیر كه نظیر خواص معمولی بردارها در فضای سه بعدی است برقرارند.
(3)
(4)
(5)
كه در ان عدد C ثابتی دلخواه می باشد و
این شباهت را با تعریف نرم تابع f در ادامه می دهیم :
(6)
فرم تفاضل f و g
(7)
در واقع می‌توان گفت نرم تفاضل f و g اندازه‌ای برای فاصله بین نمودارهای
مقدار میانگین به عبارت دقیق‌تر
مربع‌های فواصل قائم بین نقاط روی نمودارها بر بازه است.
مقدار را انحراف میانگین مجذورات توابع f و g از یكدیگر می نامند.

دو تابع f و g در متعامدند هر گاه :

(8)
همچنین اگر تابع را تراز شده می نامند . تعامد دو تابع f و g چیزی در مورد عمود بودن ارائه نمی دهد.اما در عوض مشخص می شود كه حاصلضرب f.g دربازه اصلی،‌مقادیر منفی و مثبت را طوری می گیرد كه رابطه (8) برقرار باشد.
مجموعه ای از توابع دربازه متعامد است .هر گاه به ازای هر m و n متمایز داشته باشیم : با فرض اینكه هیچ یك از توابع دارای نرم صفر نباشند، می توان، هر یك از آنها را با تقسیم آن بر تراز كرد.
مجموعه جدید كه بدین طریق ساخته می شود، كه در آن :
(9)
بربازه اصلی متعامدیكه است یعنی :
(10)
كه در آن دلتای كرونكر است.
با كامل نوشتن رابطه (10) یك مجموعه متعامدیكه تبدیل می‌شود به

مثال : طبق اتحاد مثلثاتی
می دانیم :

كه در آن m و n اعداد صحیح مثبت هستند پس می توان گفت :

3-1 تابع دوره‌ای :
تابع را دوره‌ای می نامند هرگاه این تابع به ازای هر عدد حقیقی تعریف شده باشد و عدد مثبتی مانند T موجود باشد بطوریكه :
(1)
عدد T را دوره می نامند نمودار چنین تابعی از تكرار دوره‌ای نمودار آن درهر فاصله‌ای كه طول آن T باشد بدست می آید.
ازرابطه بالا نتیجه می شود كه اگرn عدد صحیح دلخواهی باشد
از این رو 2T و 3T و 4T و ; نیز دوره هستند .

به علاوه چنانچه و دارای دوره باشد آنگاه دوره تابع ، T است. همچنین دوره‌ای نیز است زیرا این تابع به ازای هر T مثبت در رابطه (1) صدق می كند.

4-1 توابع زوج و فرد :
در تعیین ضرایب فوریه یك تابع هرگاه فرد یا زوج باشد می توان از محاسبات غیر ضروری اجتناب كرد
تابع را زوج می نامند هرگاه :
تابع را فرد می نامند هرگاه :
اگر تابعی زوج باشد آنگاه :
زوج
اگر تابعی فرد باشد آنگاه :

5-1 عملگرهای خطی :
در دو تابع متعلق به یك فضای تابعی ، دامنه تعریف آنها یكسان است و هر تركیب خطی از آنها نیز متعلق به این فضاست. یك عملگر خطی روی یك فضای تابعی ،‌یك عملگر مانند L است كه هر تابع u از آن فضا را به یك تابع Lu تبدیل می كند و لزومی ندارد كه Lu متعلق به آن فضا باشد و دارای این خاصیت است كه برای هر دو تابع و هر دو ثابت داریم :
(1)
بخصوص :
, (2)

تابع Lu ممكن است یك تابع ثابت باشد توجه داریم كه :

و به استقرار بدست می‌آوریم كه L ترتیب خطی از N تابع را به طریق زیر تبدیل می كند :
(3)
مثال : فرض كنید توابعی از متغیرهای مستقل باشند بر طبق خواص مقدماتی مشتق ، مشتق هر تركیب خطی از دو تابع می تواند به صورت همان تركیب خطی از تك تك مشتقها نوشته شود. بنابراین :
(4)
مشروط بر اینكه موجود هستند . با توجه (4) دسته همه توابع از كه مشتقات جزئی مرتبه اول آنها نسبت به در صفحه موجودند یك فضای تابعی است. عملگر روی آن فضا یك عملگر خطی است.
آن عملگر به طور طبیعی به عنوان یك عملگر دیفرانسیل خطی دسته بندی می شود.

مثال 2 :
یك خط از توابع را در نظر بگیرید كه روی صفحه تعریف شده‌اند. اگر یك تابع مشخصی باشد كه روی صفحه تعریف شده است. آنگاه عملگر L كه هر تابع را در ضرب می كند. یعنی یك عملگر خطی است.
اگر عملگرهای خطی متمایز یا غیر متمایز ، L و M طوری باشند كه M هر تابع u از یك فضای تابعی رابه یك تابع Mu متعلق به حوزه عمل L تبدیل كند. دو تابع دلخواه در آن فضای تابعی باشند، آنگاه از معادله (1) نتیجه می گیریم :
(5)
یعنی اینكه حاصلضرب LM از عملگرهای خطی نیز یك عملگر خطی است . مجموع دو عملگرخطی را توسط معادله زیر تعریف می كنیم :
(6)
اگر u را در اینجا با جایگزین كنیم می توانیم ، ببنیم كه مجموع L+M یك عملگر خطی است و بنابراین مجموع هر تعداد متناهی از عملگر خطی، خطی است.
مثال 3 :
فضای توابع را در نظر بگیرید كه مشتقات در مرتبه اول و دوم آنها نسبت به در یك دامنه مفروض ، در صفحه موجودند و فرض كنید L نمایش عملگر روی این فضا باشد. حاصلضرب عملگرهای خطی در مثالهای (1) و(2) روی همین فضا خطی است و بنابراین مجموع : خطی است.
6-1 اصل برهمنهی :
هر جمله از یك معادله دیفرانسیل همگن خطی تابع u از حاصلضرب یك تابع از متغیرهای مستقل با یكی ازمشتقات u یا خود u تشكیل می‌شود. بنابراین یك معادله دیفرانسیل همگن خطی به صورت زیر است :
(1)
كه در آن L یك عملگر دیفرانسیل خطی است برای مثال اگر :
(2)
كه در آن A تا F نمایش توابعی فقط از هستند.
معادله (1) یك معادله دیفرانسیل همگن خطی با مشتقات جزئی برای تابع است.
(3)
شرایط مرزی همگن خطی نیز به صورت (1) هستند. در این صورت متغییرهایی كه به عنوان شناسه‌های تابع u و شناسه‌های ضرائب تابعی عملگر خطی L ظاهر می شوند، به گونه‌ای محدود می شوند كه نمایش نقاط روی یك مرز یك دامنه باشند.
اكنون فرض می‌كنیم نمایش توابعی باشد كه در معادله (1) صدق می كنند، یعنی اینكه برای هر n ،‌ از خاصیت ((3 درباره عملگرهای خطی نتیجه می شود كه هر تركیب خطی از آن توابع نیز در معادله (1) صدق می كند. اصل برهمنهی جوابها را ، كه اساس روش فوریه برای حل مسائل مقدار مرزی خطی است به صورت ذیل بیان می كنیم :

7-1 قضیه
اگر هركدام از N تابع در یك معادله دیفرانسیل همگن خطی صدق می‌كند، آنگاه هر تركیب خطی :
(4)
كه در آن Cها ثابتهای دلخواه هستند در آن معادله دیفرانسیل صدق می‌كند. اگر هر كدام از آن N تابع در یك شرط مرزی همگن خطی صدق كند، آنگاه هر تركیب خطی (4) در آن شرط مرزی صدق می كند.
اصل برهمنهی در معادلات دیفرانسیل معمولی مفید است. برای مثال از دو جواب از معادله همگن خطی می توان جواب كلی را نوشت.
مثال :
معادله گرمای همگن خطی زیر :
(5)
و شرایط مرزی همگن خطی زیر را درنظر بگیرید :
(6)
به آسانی می توان نشان داد كه اگر :

و

و

آنگاه بنابراین از قضیه (1) نتیجه می‌شود برا ی هر تركیب خطی

یعنی اینكه تابع :
(7)
در معادله گرمای (5) صدق می كند هرگاه
اگرچه نوشتن با منظور كردن به جای در عبارت (7). خیلی طبیعی به نظر می رسد، انتخاب از نظر نمادی مناسب است.
همچنین برای شرایط مرزی (6) ،می نویسیم و مشاهده می كنیم مقدار صفر است هرگاه . بنابراین مجدداً بنا به قضیه (1) مقدار Lu صفر است هرگاه این نشان می دهد كه تركیب خطی (7) نیز در شرایط مرزی (6) صدق می كند.
قضیه7-1 در مورد مجموعه نامتناهی از توابع به كار می رود . همگرایی و مشتق پذیری سری نامتناهی متشكل از این توابع را بررسی می‌كنیم :
فرض كنید كه تابع و ثابتهای طوری باشد كه سری نامتناهی متشكل از جملات در سرتاسر دامنه‌ای از متغیرهای مستقل همگرا باشد . مجموع آن سری یك تابع به صورت زیر است :
(8)
فرض كنید x یكی از متغیرهای مستقل باشد آن سری نسبت به دیفرانسل پذیر، ‌یاجمله به جمله دیفرانسیل پذیر است.
اگر مشتقات موجود باشند و سری توابع به همگرا باشد :
(9)
توجه داریم كه اگر قرار است یك سری دیفرانسیل پذیر باشد باید همگرا باشد ، بعلاوه سری سری (9) نسبت به دیفرانسیل پذیر باشد آنگاه سری (8) نسبت به دوباره دیفرانسیل پذیر است.
فرض كنید L یك عملگر خطی است كه درآن Lu حاصلضرب تابعی از متغیر های مستقل در u یا در یك مشتق u است، یا Lu مجموعی از یك تعداد متناهی از اینگونه جملات است. اكنون نشان می دهیم كه اگر سری (8) برای همه مشتقات موجود در L دیفرانسیل پذیر باشد و اگر هر كدام از توابع در سری ((8 در معادله دیفرانسیل همگن خطی صدق می كند، آنگاه، u نیز در این معادله صدق می كند یعنی اینكه برای انجام كار ابتدا توجه داریم كه بر طبق تعریف مجموع یك سری نامتناهی :

هرگاه سری (8) نسبت به دیفرانسیل پذیر باشد .آنگاه :
(10)
در اینجا عملگر می تواند با مشتقات دیگر جایگزین شود.

برای دریافت اینجا کلیک کنید