مقاله مدل های فازی – چه هستند وچرا

توضیحات

  مقاله مدل های فازی – چه هستند وچرا دارای 42 صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد مقاله مدل های فازی – چه هستند وچرا  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ریختگی احتمالی در متون زیر ،دلیل ان کپی کردن این مطالب از داخل فایل ورد می باشد و در فایل اصلی مقاله مدل های فازی – چه هستند وچرا،به هیچ وجه بهم ریختگی وجود ندارد

بخشی از متن مقاله مدل های فازی – چه هستند وچرا :

مدل های فازی – چه هستند وچرا

مجموعه های فازی درواقع تعمیمی برتئوری مجموعه های قراردادی می باشد كه درسال 1965 به عنوان روشی ریاضی برای روشن كردن ابهامات درزندگی روزمره توسط زاده معرفی شد. [1].

ایده اصلی مجموعه های فازی ساده است وبه راحتی می توان آن را دریافت. فرض كنید هنگامی كه به چراغ قرمز می رسید باید توصیه ای به یك دانش آموز راننده درباره زمان ترمز كردن بكنید. شما می گویید « در74 فوتی چهارراه ترمزكن » یا توصیه ی شما شبیه به این است « خیلی زود از ترمزها استفاده كن »؟

البته دومی ؛ دستورالعمل اول برای انجام دادن بسیار دقیق است. این نشان می دهد كه دقت می تواند بی فایده باشد ، تا زمانی كه راه های مبهم وغیر دقیق می توانند تفسیر وانجام گیرند. زبان روزمره مثال دیگری است از استفاده وانتشار ابهامات. بچه ها بسرعت تفسیر وانجام دستورالعمل های فازی را یاد می گیرند. (ساعت 10 به رختخواب برو). همه ما اطلاعات فازی نتایج مبهم واطلاعات غیر دقیق را به خاطر می سپاریم وازآن ها استفاده می كنیم وبه خاطر همین مسئله قادر هستیم تا در موقعیت‌هایی كه به یك عنصر تصادفی وابسته است تصمیم گیری كنیم. بنابراین مدل های محاسباتی از سیستم‌های حقیقی باید قادر باشند كه عدم قطعیت های آماری وفازی را تشخیص دهند ، مشخص كنند ، تحت كنترل خود درآورند ، تفسیر كنند وازآن استفاده كنند.

تفسیر فازی ازاطلاعات یك راه بسیار طبیعی ، مستقیم و خوش‌ظاهر برای فرموله كردن وحل مسائل مختلف است. مجموعه های قراردادی شامل اشیایی است كه برای عضویت در ویژگی‌های دقیقی صدق می كنند. مجموعه H كه اعداد از6 تا 8 می باشد یك CRISP است ؛ ما می نویسیم . به طور مشابه H توسط تابع عضویت (MF) كه مطابق زیرتعریف می شود نیز توصیف می گردد.

مجموعه H ونمودار درسمت چپ شكل 1 نشان داده شده اند هرعدد حقیقی r یا درH است یا نیست از آنجا كه كلیه اعداد حقیقی را به دو نقطه (1،0) می‌برد ، مجموعه Crisp معادل منطق دو مقداره است : هست یا نیست ، روشن یا خاموش ، سیاه یا سفید ، 1 یا 0 . درمنطق مقادیر مقادیر حقیقت نامیده می شوند، با ارجاع به این پرسش « آیا r درH است؟ » جواب مثبت است اگروتنها اگر ؛ درغیراین صورت نه.

مجموعه دیگرF ازاعداد حقیقی كه نزدیك به 7 هستند را درنظر بگیرید ازآنجا كه ویژگی «نزدیك به 7» نامعلوم است ، تابع عضویت یكتایی برای F وجود ندارد . به هرحال مدل كننده براساس پتانسیل كاربرد و ویژگی ها F باید تصمیم بگیرد كه چه باشد . ویژگی هایی كه برای F به نظرخوب می رسد شامل این موارد است (I) حالت عادی یا طبیعی (ii) یكنواختی (برای r نزدیكتر به7 ،‌ به 1 نزدیكتراست وبرعكس) و (iii) تقارن (اعدادی كه فاصله مساوی از چپ وراست 7 دارند باید عضویت یكسانی داشته باشند).

با توجه به این موارد ضروری هركدام از توابع نشان داده شده درطرف راست شكل 1 می‌تواند نمایش مناسبی برای F باشد. گسسته است درحالی پیوسته است ولی هموارنیست (نمودار مثلثی) یك نفر می تواند به راحتی یك MF برای F بسازد به نحوی كه هرعدد عضویت مثبتی در F داشته باشد ولی انتظار نداریم برای اعداد « خیلی دوراز7» برای مثال 2000097 زیاد داشته باشیم! یكی از بزرگترین تفاوت ها بین مجموعه های Crisp ومجموعه‌های فازی این است كه اولی همیشه MF یكتایی دارد درحالی كه هرمجموعه فازی بی‌نهایت MF دارد كه می توانند آن را نشان دهند. این درواقع هم ضعف است وهم قدرت ؛ یكتایی قربانی می شود ، ولی سود پیوسته ای كه به خاطر انعطاف پذیری همراه خواهد داشت.

مدل فازی را قادر می سازد كه با بیشترین سود دریك موقعیت داده شده تطبیق داده شود. درتئوری مجموعه های قراردادی ، مجموعه های اشیایی واقعی برای مثال اعداد در H معادلند و به صورت ایزومورفیك با یك تابع عضویت یكتا مانند توصیف می شوند. ولی معادل مجموعه ای ، از اشیای واقعی وجود ندارد. مجموعه های فازی همواره ( وفقط) توابعی هستند از «مجموعه جهانی » به نام X به [ ] . این مسئله درشكل 2 نشان داده شده است كه درواقع مشخص می سازد مجموعه فازی تابع است از X به [ ] . همانطور كه تعریف شده هرتابع [ ‌] یك مجموعه فازی است.

تازمانی كه این در ریاضیات رسمی درست است ، بسیاری از توابع كه دراین زمینه توصیف می‌شوند نمی توانند به طور مناسبی برای تصوریك مجموعه فازی تفسیر شوند . به عبارت دیگر، توابعی كه X را به بازه واحد می برند ممكن است مجموعه های فازی باشند ولی تنها زمانی مجموعه فازی می شوند كه یك سری ویژگی های غیر دقیق ولی ذاتی ، منطقی وتوصیفی را با اعضای X تطبیق دهند.
اولین سؤال و در واقع سؤالی كه معمولا درمورد این طرح پرسیده می شود ، مربوط است به رابطه فازی واحتمال . آیا مجموعه های فازی یك مبدل هوشمند برای مدل های آماری است ؟ درواقع نه . شاید یك مثال كمك كند.

مثال 1: مجموعه همه آب ها رابه عنوان مجموعه جهانی درنظر بگیرید وهمچنین مجموعه فازی { مایعات قابل آشامیدن }‌=‌L را داریم . فرض كنید شما یك هفته بدون مایعات درصحرا بوده اید وحالا دو بطری A وB دارید. به شما گفته می شود كه عضویت (فازی) مایع درون A در L ، 9/0 وهمچنین احتمال اینكه مایع درون B متعلق به L باشد هم 9/0 است. به عبارت دیگر A شامل مایعی است كه با درجه عضویت 9/0 قابل شرب است درحالی كه B شامل مایعی است كه به احتمال 9/0 قابل شرب است . با این جفت بطری مواجه می شوید وباید ازیكی كه انتخاب كرده اید بنوشید ، اول كدام را برای نوشیدن انتخاب می كنید ؟ چرا؟ بعلاوه

بعداز مشاهده درباره محتوای دو بطری مقدار (محتمل) برای عضویت واحتمال چه می‌باشد؟ [ پاسخ این معما دركلاس بحث می شود ] سؤتفاهم رایج دیگردرباره مدل های فازی این است كه آن ها به عنوان جایگزین هایی برای مدل های Crisp (یا احتمالاتی) پیشنهاد می شدند. برای توضیح این مسئله نخست از شكل های 1و2 توجه كنید كه هرمجموعه Crisp فازی است ولی نه برعكس . بسیاری از طرح ها كه ازایده فازی استفاده می كنند آن را از طریق محاط كردن وجا دادن بكار می برند یعنی ما تلاش می كنیم تا ساختارقراردادی را حفظ كنیم وبه آن اجازه می دهیم تا درخروجی هرزمان كه می‌تواند و هرزمان كه باید برجسته شود.

مثال 2 : وضع ریاضی‌دان اولیه را درنظر بگیرید ، او می دانند كه سری تیلور برای تابع حقیقی (زنگی شكل) در واگرا است ولی نمی تواند بفهمد چرا ، مخصوصا كه f دراین نقاط بی نهایت بار مشتقپذیر است. امروزه به عنوان دانش معمول هر دانش آموز ازتوابع مختلط تابع دو قطب در دارد. بنابراین تابع مختلط كه محاط شده به وسیله صورت كسر است ، نمی تواند بسط سری توانی همگرا درنقطه ای روی مرز دایره به شعاع واحد درصفحه داشته باشد ؛ درحالت خاص در ، یعنی درنقاط حقیقی . این مثال یك اصل كلی در ریاضیات مدلی را نشان می دهد . یك مسئله حقیقی (ظاهراً لاینحل) را درنظر بگیرید ؛ فضا را گسترش بدهید وجواب را دراین فوق مجموعه خیالی جستجو كنید درنهایت جواب بدست آمده را به قیدهای حقیقی اولیه محدود كنید.

درمثال 2 ما درمورد پیچیده سازی تابع f بوسیله محاط كردن یا درنظر گرفتن اعداد حقیقی درصفحه مختلط صحبت كردیم ، درادامه با عمل آسان سازی ازنتیجه كلی برای حل مسئله اصلی استفاده می كنیم . بسیاری از مدل‌های فازی از طرح مشابهی پیروی می‌كنند مسئله های واقعی كه شامل عدم قطعیت های آماری نمی باشند ابتدا « فازی» می شوند سپس یك نوع آنالیز وتحلیل برروی مسئله بزرگترصورت می گیرد و درنهایت نتیجه برای حل مسئله اصلی خاص و

ویژه می شود. درمثال 2 بازگشت به خط حقیقی عمل آسان سازی نامیده می شود ؛ درمدل های فازی این بخش ازفرآیند به عنوان دقیق سازی شناخته می شود. این عمل معمولا ضروری است ، البته هرچند كه ما به یك دانش آموز آموزش می دهیم تا « از ترمز خیلی زود استفاده كند» ولی درحقیقت پدال ترمز دریك لحظه باید درست وآماده عمل كند. به عبارت دیگرما نمی توانیم یك موتور را نصحت كنیم كه « تند حركت نكن » هرچند كه این دستورالعمل از كنترل كننده فازی می آید ولی ما باید ولتاژومقدار آن را به مقدار مخصوص ومعینی تغییردهیم مثال 2 نشان می دهد كه این به سختی یك ایده یا داستان است ؛ درعوض باید به آن به عنوان روشی سودمند توجه كنیم.

مثال 3:به عنوان آخرین وشاید واقعیترین مثال درمورد كاربرد مدل های فازی ، سیستمی كه درشكل 3 نشان داده شده را درنظر بگیرید كه یك آونگ وارونه ساده را نشان می دهد . این آونگ برای چرخش درصفحه شكل وحول محور متصل به ماشین آزاداست. مسئله كنترل این است كه با وارد كردن یك نیروی باز گرداننده F(t) درلحظه t ، درپاسخ به تغییرات خطی وزاویه ای موقعیت یا سرعت ، پاندول را درهمه زمان ها عمود نگه داریم . این مسئله می‌تواند به روش های مختلفی

فرموله شود. دریكی از ساده ترین صورت ها از تئوری كنترل استفاده می شود . خطی سازی معادلات حركت به یك مدل از سیستم منتهی می شود كه ویژگی های ثبات واستحكام توسط امتحان بخش حقیقی مقادیر ویژه ازماتریس ثابت های سیستم مشخص می گردد. مسیر پایین در شكل 3 این حالت را نشان می دهد . همانطور كه در وسط مسیر پایین شكل 3 نشان داده شده اگر آنگاه پاندول ثابت وساكن خواهد ماند. این رویه درمهندسی كنترل بسیار پیش پا افتاده

است تا آنجا كه بسیار از طراحان اصلا درمورد استفاده ازاعداد موهومی درحل مسایل حقیقی فكرنمی كنند ، ولی واضح است كه این روند دقیقا مانند مثال 2 است – یك مسئله حقیقی با گذر موقت به یك مجموعه بزرگتر وخیالی ، تحلیل موقعیت درابرمجموعه ودرنهایت با خاص كردن نتیجه برای بدست آوردن جواب دلخواه حل می شود.
مسیر بالا درشكل 3 راه حل دیگری را برای

این مسئله كنترل نشان می دهد كه برپایه مجموعه های فازی است. این روش هم ، برای موازنه وتثبیت پاندول مشهور ومطرح است وراه حلی را ارائه می كند كه دربعضی موارد بسیار بهتراست ، برای مثال كنترل كننده فازی نسبت به تغییرات درطول وجرم پاندول حساسیت بسیار كمتری دارد [2]. دوباره به اصل محاط كردن توجه كنید : فازی كردن ، حل ، عمل عكس فازی كردن ، كنترل مدل های فازی با موارد مشابه به تفاوت ندارند. بعضی مواقع بهترعمل می كنند وبعضی مواقع هم نه.

این جداً تنها معیار نیست كه بایستی برای قضاوت هر مدل بكار برد، و این روزها مدارك بیشتری وجود دارد كه شیوه های فازی برای مسایل واقعی اغلب جایگزین خوبی برای طرحهای آشناتر و محبوب‌تری می‌باشند. این نقطه ای است كه بحث ما اكنون به آن بر می‌گردد. اكنون اجازه دهید اندكی در باره تاریخ مجموعه های فازی بحث نماییم. موفقیت عظیم كاربردهای تجاری كه حداقل تا حدی مبتنی بر تكنولوژی های فازی توسط شركتهای ژاپنی می باشد كنجكاوی بسیاری را درباره سودمندی و استفاده از منطق فازی برای كاربردهای علمی و مهندسی بر انگیخته است. در طی پنج یا ده سال گذشته مدلهای فازی جانشین تكنولوژی های قراردادی تر در كاربردهای علمی و سیستم های مهندسی خصوصاً در سیستم های كنترل و شناخت الگو گردیده‌اند. اخیراً مقاله ای در Newsweek خاطر نشان كرد كه ژاپنی ها هزاران الگو در لوازم فازی كه تنوع بسیاری دارند منجمله ماشین لباسشویی، تهویه هوا، دوربین تلویزیونی، جاروبرقی ، كنترل ترن زیر زمینی و كشتی و اتومبیل بكار برده‌اند.

اساساً این تكنولوژی است كه باعث علاقه در این حوزه شده است. از 1965، مؤلفان بسیاری موارد فازی را در بخشهای مربوط به ریاضیات، علوم و مهندسی تعمیم دادند. به هر حال علاقه به مدلهای فازی تا زمانی كه كاربردهای میدانی آن آشكار نشد بسیار عمومیت نداشت. دلایل این تأخیر در محبوبیت بسیار می باشد. اما شاید دقیق ترین توضیح در حقایق برحسته كه در توسعه هر تكنولوژی مسئله ای اساسی می باشد نهفته باشد كه به طور موجز در شكل 4 نشان داده شده است.

محور افقی شكل 4 زمان است و محور عمودی انتظار است و انتظار چه كسی؟ خوب، معمولاً انتظار آدمهایی كه تاوان توسعه تكنولوژی را می پردازند، اما توصیه می كنم در اینجا این محور را به مفهوم وسیع تری بگیرید، برای سودمندی، البته از چشم مصرف كننده. بخش اساسی و بسیار پر اهمیت شكل 4 خط مجانب است كه به تحویل تكنولوژی به ارزش مورد انتظار بسیار پایین تری از آنچه كه مصرف كنندگان اولیه در نظر داشتند منجر می شود. سالهای مربوط به محور زمان مربوط به مدلهای فازی هستند و البته با بهترین تخمین (به استثنای مورد اولی) وقتی به این شكل نگاه می كنید ممكن است مایل به حذف این مدلها و

جایگزینی تكنولوژی جدید مطلوب خود برای موردی كه نشان داده شده باشید. هر تكنولوژی سیر تكامل خود را دارد و همه آنها الگویی را كه در شكل 4 نشان داده شده پیروی نمی كنند.(اما ممكن است شگفت زده شوید كه ببینید چند تای آنها از این الگو پیروی می كنند. برای مثال، سعی كنید كه با در نظر گرفتن

تاریخ، افراد و حوادث مربوط به آنان را مشخص كنید برای نمونه شبكه عصبی محاسباتی، هوش مصنوعی، فركتال ها، اعداد مختلط و غیره هر تكنولوژی جدید با خوش بینی و ساده نگری شروع می گردد . مخترع یا مخترعین در ایده های خودشان غرق می شوند، همكاران نزدیك آنها هستند كه، هیجان بسیار زیادی ر تجربه می كنند. اكثر تكنولوژی ها بیش از حد خوش بینانه هستند و اغلب بیش از ایجاد درآمد برای ادامه كار را نوید می دهند زیرا منبع مالی و كسب در آمد بخش جدایی ناپذیر رشد علمی است كه بدون آن انقلابی ترین ایده ها و تخیل بسیار بالا از مرحله جنینی عبور نمی كنند. Hype ساخت دست طبیعی است كه بیش از حد خوش بینانه است و اكثر تكنولوژی ها به سرعت ساخته می‌شوند كه به نوك Hype برسند. در پی آن، همیشه تقریباً عكس العمل آن ایده ها وجود دارد كه كاملاً رشد نیافته اند، و این ناچاراً به شكست می انجامد و در امتداد آن بد بینی را به دنبال دارد. بسیاری از تكنولوژی های جدید تا این نقطه تكامل می یابند و سپس ناپدید می شوند.

مواردی نیز تداوم می یابند. زیرا فردی، سودمندی در آن برای (=سوء استفاده كننده واقعی) ایده های اساسی می یابد.

استفاده یا سودمندی خوب به چه معناست؟ برای مثال، امروزه سودمندی های فراوانی در اعداد حقیقی برای اعداد مختلط وجود دارد، همانطور كه در مثال های 2 و 3دیدیم. اما ریاضی دانان بسیاری تا زمانی كه ریاضی دانانی چون وسل ،آرگاند ، همیلون و گاوس اعداد موهومی را از نقطه نظر هندسی به وجود آوردند، این چنین فكر نمی كردند و البته در بافت مدلهای فازی استفاده خوب مترادف با تركیب محصولاتی است كه در بالا بدان اشاره شد. علاقه به سیستم های فازی در حوزه دانشگاهی، صنعت و دولت همچنین با رشد سریع كنفرانس های ملی و بین المللی روشن می گردد. همچنانكه در بالا بدان اشاره شد كاربردهای موفقیت آمیز مدلهای فازی به لحاظ كاربردهای تجاری در ژاپن بسیار شهرت یافته اند.
MITI در ژاپن LIFE ، را در 1988 با بودجه سالانه حدود 24000000 دلار (دلار آمریكایی) برای هفت سال شروع كرد. ]000[

«نظریه مجموعه‌های فازی»
ویرایش شده از
J-S.R.Hang ، C,T,sun و E,Mizutani، Neuro-Fuzzy and soft computing ، فصل 2 Prentice Hall ، 1997
X را فضایی از اشیاء و x را یك عنصر نوعی از x در نظر می گیریم. یك مجموعه ی كلاسیك A، ، بصورت مجموعه ای از عناصر یا اشیاء ، كه هر عنصر (x)می تواند یا عضو مجموعه باشد یا نباشد، تعریف شده است. با تعریف یك «تابع مشخصه(یا عضویت)» برای هر عنصر ، می توانیم یك مجموعه كلاسیك A را به وسیله ی یك مجموعه از زوجهای مرتب یا كه به ترتیب اشاره بر یا دارند نمایش دهیم . بر خلاف مجموعه ی قراردادی فوق الذكر، یك مجموعه فازی درجه ای را كه از آن یك عنصر متعلق به مجموعه است، بیان می كند. بنابراین تابع عضویت یك مجموعه فازی اجازه دارد مقادیر بین 0 و 1 را داشته باشد كه درجه‌ی عضویت هر عنصر در داخل مجموعه را مشخص می‌كند.

تعریف 1:(مجموعه فازی و توابع عضویت): اگر X ومجموعه ای از اشیاء باشد كه بطور كلی با x مشخص می شوند ، در این صورت یك مجموعه ی فازی A داخل X بصورت مجموعه ای از زوجهای مرتب به شكل تعریف می‌شود بطوریكه تابع عضویت (یا برای اختصار MF) برای مجموعه ی فازی A نامیده می‌شود. MF هر عنصر از X را تا یك «درجه ی عضویت» (یا «مقدار عضویت») بین 0 و 1 (شامل شده) ]به شكل نمودار[ ترسیم می‌كند.
به شكل آشكار ، تعریف مجموعه فازی یك تعمیم ساده از تعریف یك مجموعه ی كلاسیك است كه در آن تابع مشخصه اجازه دارد هر مقداری بین 0 و 1 را اختیار كند. اگر مقدار تابع مشحصه به 0 و 1 محدود شود، A به یك مجموعه كلاسیك كاهش می‌یابد.

برای وضوح، به مجموعه های كلاسیك به عنوان مجموعه های متداول، مجموعه های crisp، مجموعه های غیر فازی یا فقط مجموعه ها نیز مراجعه خواهیم كرد. اغلب به X به عنوان «مجموعه جهانی » یا بطور ساده«جهان» رجوع می شود و ممكن است شامل اشیاء گسسته (مرتب یا نامرتب) بوده یا اینكه یك فضای پیوسته باشد. با مثالهای زیر این مسئله روشن خواهد شد.

مثال 1(مجوعه های فازی، جهان گسسته ی نامرتب): X را مجموعه ی شهرهایی كه یك نفر ممكن است برای زندگی انتخاب كند قرار دهید بصورت {لس آنجلس ، بوستون ، سان‌فرانسیسكو }=X مجموعه ی فازی «شهر مطلوب برای زندگی»=A ممكن است به شكل مقابل شرح داده شود: {(8/0 بوستون)، (96/0، لس آنجلس)، (9/0، سان فرانسیسكو)}=A به وضوح جهان مباحثه X گسسته است و اشیاء نامرتب را شامل می شود، در اینجا سه شهر بزرگ در ایالت متحده ، همان طور كه می توان ملاحظه كرد. درجه های عضویت مذكور كه در بالا لیست شد كاملاً فردی و شخصی است و هركس می تواند با سه مقدار متفاوت اما درست برای نشان دادن برتری خود حاضر شود.

مثال 2(مجموعه های فازی با جهان گسسته ی مرتب): X را مجموعه ی تعداد فرزندانی كه یك خانواده ممكن است برای داشتن انتخاب كند بصورت مقابل قرار دهید، . اكنون مجموعه فازی «تعداد فرزندان مطلوب در خانواده»=B ممكن است به شكل مقابل شرح داده شود:

در اینجا ما یك جهان گسسته ی مرتب X داریم. MF برای مج

موعه فازی B در شكل (a)5 نشان داده شده است. مجدداً درجه های عضویت این مجموعه فازی آشكارا ، مقادیری فردی و شخصی هستند.
مثال 3(مجموعه های فازی با جهان پیوسته): Xرا مجموعه ی سن های ممكن برای انسان بصورت قرار دهید. در این صورت مجموعه ی فازی «سن حدود 50 سال»=C ممكن است بصورت بیان شود بطوریكه . این در شكل (b)5 نشان داده شده است. از مثالهای در پیش آمده واضح است كه ساختمان یك مجموعه فازی وابسته به دو چیز است، شناسایی یك جهان مباحثه مناسب و تعیین یك تابع عضویت شایسته. تعیین توابع عضویت فردی(وابسته به طرز تفكر شخصی) است، كه یعنی توابع عضویت تعیین شده برای یك مفهوم توسط افراد متفاوت ممكن است بطور قابل توجهی تفاوت داشته باشد. این فردیت از تفاوتهای

شخصی افراد در بیان كردن مفاهیم مطلق(مجرد) ناشی می شود و ارتباط چندانی به تصادف و تصادفی بودن ندارد . بنابراین «فردیت» و «تصادفی نبودن» مجموعه های فازی تفاوت عمده بین مطالعه ی مجموعه های فازی و نظریه‌ی احتمال كه با رفتار علمی و بدون نظر خصوصی با پدیده های تصادفی سروكار دارد، است. مجموعه های فازی تفاوت عمده بین مطالعه ی مجموعه های فازی و نظریه احتمال كه با رفتار علمی و بدون نظر خصوصی با پدیده های تصادفی سروكار دارد، است.
در عمل، وقتی كه جهان مباحثه X یك فضای پیوسته است، ما معمولاً آنرا به چندین مجموعه فازی كه MF های آنها X را در حالتی كم و بیش یكنواخت بپوشاند، تقسیم می كنیم. این مجموعه های فازی كه معمولاً دارای اسمهایی هستند كه با صفتهایی كه در كاربرد روزمره ی زبانی ما ظاهر می‌شوند مطابقت دارند (مانند«بزرگ»، «متوسط» یا «كوچك»)، «مقادیر زبانی» یا «برچسب های زبانی » نامیده می شوند. بنابراین جهان مباحثه X معمولاً «متغیر زبانی» نامیده می شود. مثالی درباره‌ی این در زیر می آید.

مثال 4(متغیرهای زبانی و مقادیر زبانی): فرض كنید «سن»=X، در این صورت می توانیم مجموعه های فازی «جوان»، «میانسال» و «پیر» را در این مورد تعریف كنیم. اگر «سن» مقدار «جوان» را بخود بگیرد، در این صورت بیان «سن ، جوان است» را خواهیم داشت و به همین شكل برای بقیه ی مقادیر مثالی از MF ها برای این مقادیر زبانی در شكل 6 آمده است بطوریكه جهان مباحثه X بطور كامل توسط MF ه

ا پوشیده شده است و انتقال از یك MF به دیگری نرم و تدریجی است. اكنون بیایید بعضی از واژه ها و اصطلاحات بكار رفته در این نوشته را تعریف كنیم.
تعریف 2 (تكیه گاه) : تكیه گاه یك مجموعه‌ی فازی A ، مجوعه‌ی تمام نقاط x داخل X است بطوریكه .
تعریف 3 (مغز یا هسته) : مغز یا هسته یك مجموعه فازی A مجموعه تمام نقاط x داخل X است بطوریكه .
تعریف 4 (حالت عادی) : یك مجموعه‌ی فازی عادی است اگر مغزش ناتهی باشد . به بیان دیگر، همیشه بتوانیم حدال یك نقطه پیدا كنیم بطوریكه .
تعریف 5(نقاط متقاطع ): یك نقطه ی متقاطع از یك مجموعه ی فازی نقطه ی است بطوریكه .
تعریف 6(یگانه فازی) :یك مجموعه فازی كه با تكیه‌گاه آن یك تك نقطه در X با باشد یگانه ی فازی

نامیده می شود.
تعریف 7 (برش ، برش قوی) : مجموعه ی برش یا تراز از یك مجموعه فازی A یك مجموعه ی crisp است، كه به صورت تعریف شده است. مجموعه ی برش قوی یا تراز قوی نیز به شكل مشابه تعریف شده است:

تعریف 8(تحدب):یك مجموعه فازی A محدب است اگر و فقط اگر برای هر و هر ، . به شكل جایگزین، A محدب ا
تعریف 9(اعداد فازی) :یك عدد فازی A یك مجموعه ی فازی در اعداد حقیقی است كه شرایط حالت عادی و تحدب را می پذیرد. بیشتر مجموعه های فازی بكار رفته در نوشته جات شرایط حالت عادی و تحدب را می پذیرند ، بنابراین اعداد فازی اساسی ترین نوع مجموعه‌های فازی را از كار خود كنار می گذارند. اجتماع، اشتراك و مكمل اصلی‌ترین اعمال روی مجموعه های كلاسیك هستند. برپایه‌ی این سه عمل تعدادی هویت می تواند بنا نهاده شود. مشابه اعمال اجتماع، اشتراك و مكمل برای مجموعه های معمولی، مجموعه های فازی اعمال مشابهی دارند كه ابتدا در مقاله ی اصلی «زاده»]1[ تعریف شدند. قبل از معرفی این سه عمل مجموعه های فازی، نخست ما نظریه «شامل بودن» كه نقش مركزی در مجموعه های معمولی و فازی ایفا می كند تعریف خواهیم كرد. البته تعریف شامل بودن یك تعمیم طبیعی از این تعریف برای مجموعه های معمولی است.

تعریف 10 (محدود كردن یا زیر مجموعه) : مجموعه ی فازی A در مجموعه ی فازی B است (یا بطور هم ارز، A یك زیر مجموعه‌ی B است یا A كوچكتر مساوی B است، ) اگر و فقط اگر برای هر x، .
تعریف 11(اجتماع(انفصال)) : اجتماع دو مجموعه ی فازی A و B، مجموعه فازی C است كه به شكل یا نوشته می شود، كه MF آن به صورت مقابل با MF های A و B مرتبط است:

تعریف 12(اشتراك(اتصال)) : اشتراك در مجموعه فازی A و B، مجموعه ی فازی C است كه به شكل یا نوشته می شود، كه MF آن به صورت مقابل با MF‌های A و B مرتبط است:

تعریف 13(مكمل(نفی)) :مكمل مجموعه فازی A، كه با یا not A مشخص می شود، به صورت تعریف می شود.
دقت كنید كه اعمال معرفی شده در این سه تعریف (11 تا 13) دقیقاً مانند اعمال مشابه برای مجموعه های معمولی عمل می كنند ، اگر مقادیر توابع عضویت به 0 و 1 محدود شوند. به هر حال، قابل فهم است كه این توابع تنها شكل ممكن تعمیم اعمال مجموعه ی crisp نیستند. برای هر كدام از سه عمل مذكور مجموعه ها، چندین گروه متفاوت از توابع یا خواص مطلوب متعاقباً در درون متن پیشنهاد شده است(مثلاً مجموع جبری برای اجتماع و حاصلضرب برای اشتراك) در حالت

كلی اجتماع و اشتراك مجموعه های فازی می توانند به ترتیب به وسیله عملگرهای ‏T-conorm(S-norm) و T-norm تعریف شوند. این دو عملگر توابع به شكل هستند كه بعضی خواص شركت پذیری، جابجایی پذیری، یكنواختی و مرز مناسب را می پذیرند همان طور كه توسط زاده ]1[ اشاره شده است یك تعریف ذاتی اما هم ارز برای اجتماع، «كوچكترین» مجموعه ی فازی است كه هم شامل A و هم شامل B باشد. به طور جایگزین، اگر D هر مجموعه ی فازی شامل هم A و هم B باشد، در این صورت آن شامل است. به طور مشابه، اشتراك A و B «بزرگترین» مجموعه فازی است كه هم در A و هم در B مشمول باشد.
(ادامه متن ویرایش شده است از

J.M.Mendel “Fuzzy logic sysytem for Engineering:A Tutorial” proc. of IEEE (3)83، 1995)
دو قانون بنیادی(ارسطویی) نظریه مجموعه crisp عبارتند از:1)قانون تناقض : (یعنی یك مجموعه و مكمل آن باید جهان مباحثه را شامل شوند.)
2)قانون میانه ی منع شده : (یعنی یك شی می تواند در یك مجموعه یا مكمل آن باشد. نمی تواند هم زمان در هر دو قرار بگیرد.) به راحتی دیده می شود كه برای هر مجموعه‌ی فازی كه non-crisp است(یعنی كه تابع عضویت آن، تنها مقادیر 0 و 1 را اختیار نمی‌كند(به مقادیر 1و0 محدود نیست)) هر دو قانون شكسته می شود(یعنی برای مجموعه‌های فازی و در حقیقت بطوریكه داریم و به عنوان مثال، می توانیم از شكل 6 ببینیم كه چطور یك شخص 30 ساله جوان است، با

تابع عضویت 5/0 و جوان نیست با تابع عضویت 5/0، در واقع، یكی از راههای نشان دادن تفاوت بین نظریه ی مجموعه crisp و نظریه ی مجموعه فازی این است كه توضیح دهیم این دو قانون در نظریه مجموعه فازی برقرار نیستند. نتیجتاً، هر ریاضیات دیگری كه بر نظریه مجموعه crisp تكیه دارد مانند احتمال (بر پایه ی تكرار) باید از نظریه فازی متفاوت باشد.

ما اكنون مفهوم رابطه ها در مجموعه های فازی و crisp را معرفی خواهیم كرد؛ این در حركت به سمت منطق فازی كمك خواهد كرد. یك رابطه crisp حضور یا عدم حضور وابستگی، اثر متقابل یا به هم پیوسته بودن بین عناصر دو یا چند مجموعه را نمایش می‌دهد. برای دو مجموعه X و Y داده شده، یك رابطه R بین X و Y خود یك مجموعه R(x,y) زیر مجموعه ای از است. برای مثال رابطه ی ترتیبی «كوچكتر از» (<) رابطه ای است كه در كه بصورت تعریف می شود. نقطه ی (123،1) متعلق به LT(R,R) است در حالیكه به وضوح (1،123) متعلق به آن نیست.(توجه: با Y*X، به ضرب دكارتی مجموعه های X و Y اشاره داریم كه مجموعه ای از زوجهای مرتب با مقادیری به ترتیب از X و Y است. یعنی .

تعریف 14(رابطه ی فازی): یك رابطه ی فازی، درجه ای از حضور یا عدم حضور وابستگی، اثر متقابل یا به هم پیوسته بودن بین عناصر دو یا چند مجموعه را نمایش می دهد. مثالهایی از رابطه‌های (دوتایی) فازی عبارتند از:

x خیلی بزرگتر از y است، y خیلی نزدیك به x است، z خیلی سبزتر از y است. X و Y را در جهانی مباحثه قرار دهید . یك رابطه ی فاری R(x,y)، یك مجموعه فازی در فضای حاصلضرب X*Y است ، یعنی یك زیر مجموعه‌ی فازی از Y*X است و با تابع عضویت مشخص می شود. یعنی

تفاوت بین یك رابطه ی فازی و یك رابطه ی crisp این است كه برای اولی هر مقدار عضویتی در بازه ی [0,1] مجاز است در حالیكه برای دومی تنها 0و 1 قابل اختیار هستند. علت آن كه یك رابطه ی فازی نه تنها بهم پیوستگی بین عناصر دو یا چند مجموعه (مثلاً آن طور كه یك رابطه ی crisp انجام می دهد) بلكه درجه یا حد این وابستگی را هم بیان می‌كند، نیز همین است. از آنجائیكه رابطه های فازی مجموعه‌های فازی در فضای حاصلضرب هستند. اعمال نظری مجموعه ها می توانند با استفاده از تعاریف 11 تا 13 برای آنها تعریف شود.

برای دریافت اینجا کلیک کنید